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R. 5 (I)

Pedrea - Predicciones de Loteria 2010 - Loteria de navidad - Pedrea 2010




Si la gente espera un milagro económico en alguna época en especial, ésta es sin lugar a dudas La Época. Acercamiento, felicidad, ilusión… y gasto por un tubo. Tanto que no vendría mal una ayudita extra y, puesto que es una fecha tan señalada y mágica, ¿por qué no iba a ocurrir el milagro? Dado que un milagro se define como un hecho no explicable por las leyes naturales y que se atribuye a intervención sobrenatural de origen divino, un servidor no cree en milagros ni demás paparruchas de ese tipo.

Bien es sabido que los sucesos que ocurren a nuestro alrededor pueden explicarse de manera extremadamente fiable mediante diversos métodos matemáticos. De hecho en este caso voy a someter a examen algunos ejemplos de loterías, lo cual nos permitirá sacar algunas conclusiones.

Empecemos analizando un clásico de las loterías en España, la Primitiva. Según el enlace anterior se juega con 6 números del 1 al 49, ambos inclusive, un número de 0 a 9 como reintegro, y un número complementario también de 0 a 9; y se nos informa de que existen 6 categorías de premios, a saber:

  • Reintegro: Es la devolución del dinero apostado en una participación. 1 €.
  • 5ª: 3 números acertados. 8 €.
  • 4ª: 4 números acertados. 70,76 €.
  • 3ª: 5 números acertados. 2.699,58 €.
  • 2ª: 5 números acertados más el número complementario. 103.933,35 €
  • 1ª: 6 números acertados. El premio es el bote acumulado de que nadie haya ganado anteriormente este premio. Para los cálculos pertinentes tomaré el bote a día de hoy. 5.082.796,16 €.

Ahora procederemos a ver cuántas probabilidades hay de conseguir cada premio, cuántas probabilidades de no ganar nada, y cuál es la ganancia media esperada tras jugar mucho a la Primitiva.

Estas probabilidades se obtendrán mediante unos sencillos cálculos que se pueden realizar aplicando la teoría de la probabilidad.

Primero establecemos la probabilidad de cada número independiente. Puesto que los números de dos cifras varían de 1 a 49, parece razonable que la probabilidad de acertar un número es de 1/49, mientras que siendo números entre 0 y 9 tanto el complementario como el reintegro, tengamos 1/10 de acertar independientemente cada uno de ellos. Esto se traduce en que tenemos una probabilidad del 10% de que se nos devuelva el dinero de la apuesta.

Para el resto de premios, podemos calcular las proabilidades pertinentes mediante la regla del producto.

Para el premio de 5ª categoría hemos de acertar 3 números cualesquiera. Denominando N1 al número en la primera posición de la apuesta, N2 al segundo, etc hasta N6 para el 6º número de la apuesta, las posibles combinaciones serían:
N1 + N2 + N3
N1 + N2 + N4
N1 + N2 + N5
N1 + N2 + N6
N1 + N3 + N4
N1 + N3 + N5
N1 + N3 + N6
N1 + N4 + N5
N1 + N4 + N6
N1 + N5 + N6
N2 + N3 + N4
N2 + N3 + N5
N2 + N3 + N6
N2 + N4 + N5
N2 + N4 + N6
N2 + N5 + N6
N3 + N4 + N5
N3 + N4 + N6
N3 + N5 + N6

Contamos con estas diecinueve maneras de conseguir esos tres números que nos darían derecho a cobrar nustros 8 euros.

Bien, apliquemos la regla del producto:
(1/49 x 1/49 x 1/49) + (1/49 x 1/49 x 1/49) + (1/49 x 1/49 x 1/49)… etcétera, hasta sumarlos 19 veces, o lo que es lo mismo:
19 x (1/49 x 1/49 x 1/49) = 19 x 1/117649 = 19/117649 = 0,0001614973
Lo cual expresado en porcentaje equivale a un 0,01614973%, redondeándolo muy generosamente, un 0,0162% de ganar 8 euros. Esta pequeña muestra debería bastar para asombrar a más de una persona de las que piensa que no es tan difícil ganar una lotería, pero esto sólo es para abrir boca, pasemos a la siguiente categoría de premios.

La 4ª categoría nos aseguraría una buena cena a más de uno de nosotros, 70,76 €. Veamos sus posibles combinaciones:
N1 + N2 + N3 + N4
N1 + N2 + N3 + N5
N1 + N2 + N3 + N6
N1 + N2 + N4 + N5
N1 + N2 + N4 + N6
N1 + N3 + N4 + N5
N1 + N3 + N4 + N6
N1 + N4 + N5 + N6
N2 + N3 + N4 + N5
N2 + N3 + N4 + N6
N3 + N4 + N5 + N6

No hay más posibles combinaciones que estas once. Bien, aplicando la regla del producto:
11 x (1/49 x 1/49 x 1/49 x 1/49) = 11/5764801 = 0,0000019
Que expresado en porcentaje es un 0,00019% de ganar esa ansiada cena de setenta y tantos euros.

La categoría 3ª requiere el acierto de 5 números. Esto se traduce en las combinaciones:
N1 + N2 + N3 + N4 + N5
N1 + N2 + N3 + N4 + N6
N1 + N2 + N3 + N5 + N6
N1 + N2 + N4 + N5 + N6
N1 + N3 + N4 + N5 + N6
N2 + N3 + N4 + N5 + N6

Con lo que tenemos
6 x (1/49 x 1/49 x 1/49 x 1/49 x 1/49) = 0,00000002124
En porcentaje 0,00000212% de obtener este premio de 2.699,58 €.

La categoría 2ª “sólo” requiere acertar el complementario, aparte de la condición de la categoría 3ª, por tanto valdrá pro multiplicar por 1/10, o lo que es lo mismo, dividir por 10 las probabilidades respecto al anterior. Es decir un 0,000000212% de conseguir los 103.933,35 €.

Por último, el premio gordo, la 1ª categoría. esto implica obtener todos los números de dos cifras, lo cual nos deja la única opción de:
N1 + N2 + N3 + N4 + N5 + N6

Y con la regla del producto:
1 x (1/49 x 1/49 x 1/49 x 1/49 x 1/49 x 1/49) = 0,0000000000722
En porcentaje 0,00000000722% de lograr el codiciado bote.

A continuación un pequeño resumen de probabilidades, y otro día seguiré con otros datos relevantes:

  • Reintegro: 10%
  • 5ª: 0,0162%
  • 4ª: 0,00019%
  • 3ª: 0,00000212%
  • 2ª: 0,000000212%
  • 1ª: 0,00000000722%
  • La probabilidad de que no toque nada se puede aproximar burdamente de la siguiente manera: 1 – (Pr(R) + Pr(5))= 0,8998
    Aproximadamente un 89,98% de que no toque nada. No se puede acometer la feliz idea de tener en cuenta las categorías de la 5ª a la 1ª y sumarlas, puesto que depende la de orden superior de la inmediatamente inferior, al contener combinaciones que son básicas para un premio mayor.
  • Por simetría, la probabilidad de que toque algo es de 100% – 89,98% = 10,02% y sobra decir que la abrumadora mayoría de veces, es sólo el reintegro. En la próxima parte veremos, sabiendo que ha tocado el premio, (que hemos incurrido en ese 10,02%), qué probabilidades hay de haber recibido cada premio.

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